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# Chapter4 梯度策略
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## 1 Keywords
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- **policy（策略）：** 每一个actor中会有对应的策略，这个策略决定了actor的行为。具体来说，Policy 就是给一个外界的输入，然后它会输出 actor 现在应该要执行的行为。**一般地，我们将policy写成 $\pi$ 。**
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- **Return（回报）：** 一个回合（Episode）或者试验（Trial）所得到的所有的reward的总和，也被人们称为Total reward。**一般地，我们用 $R$ 来表示它。**
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- **Trajectory：** 一个试验中我们将environment 输出的 $s$ 跟 actor 输出的行为 $a$，把这个 $s$ 跟 $a$ 全部串起来形成的集合，我们称为Trajectory，即 $\text { Trajectory } \tau=\left\{s_{1}, a_{1}, s_{2}, a_{2}, \cdots, s_{t}, a_{t}\right\}$。
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- **Reward function：** 根据在某一个 state 采取的某一个 action 决定说现在这个行为可以得到多少的分数，它是一个 function。也就是给一个 $s_1$，$a_1$，它告诉你得到 $r_1$。给它 $s_2$ ，$a_2$，它告诉你得到 $r_2$。 把所有的 $r$ 都加起来，我们就得到了 $R(\tau)$ ，代表某一个 trajectory $\tau$ 的 reward。
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- **Expected reward：** $\bar{R}_{\theta}=\sum_{\tau} R(\tau) p_{\theta}(\tau)=E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}[R(\tau)]$。
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- **Reinforce：** 基于策略梯度的强化学习的经典算法，其采用回合更新的模式。
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## 2 Questions
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- 如果我们想让机器人自己玩video game, 那么强化学习中三个组成（actor、environment、reward function）部分具体分别是什么？
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答：actor 做的事情就是去操控游戏的摇杆， 比如说向左、向右、开火等操作；environment 就是游戏的主机， 负责控制游戏的画面负责控制说，怪物要怎么移动， 你现在要看到什么画面等等；reward function 就是当你做什么事情，发生什么状况的时候，你可以得到多少分数， 比如说杀一只怪兽得到 20 分等等。
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- 在一个process中，一个具体的trajectory $s_1$,$a_1$, $s_2$ , $a_2$ 出现的概率取决于什么？
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答：
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1. 一部分是 **environment 的行为**， environment 的 function 它内部的参数或内部的规则长什么样子。 $p(s_{t+1}|s_t,a_t)$这一项代表的是 environment， environment 这一项通常你是无法控制它的，因为那个是人家写好的，或者已经客观存在的。
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2. 另一部分是 **agent 的行为**，你能控制的是 $p_\theta(a_t|s_t)$。给定一个 $s_t$， actor 要采取什么样的 $a_t$ 会取决于你 actor 的参数 $\theta$， 所以这部分是 actor 可以自己控制的。随着 actor 的行为不同，每个同样的 trajectory， 它就会有不同的出现的概率。
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- 当我们在计算 maximize expected reward时，应该使用什么方法？
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答： **gradient ascent（梯度上升）**，因为要让它越大越好，所以是 gradient ascent。Gradient ascent 在 update 参数的时候要加。要进行 gradient ascent，我们先要计算 expected reward $\bar{R}$ 的 gradient 。我们对 $\bar{R}$ 取一个 gradient，这里面只有 $p_{\theta}(\tau)$ 是跟 $\theta$ 有关，所以 gradient 就放在 $p_{\theta}(\tau)$ 这个地方。
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- 我们应该如何理解梯度策略的公式呢？
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答：
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\begin{aligned}
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E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}\left[R(\tau) \nabla \log p_{\theta}(\tau)\right] &\approx \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} R\left(\tau^{n}\right) \nabla \log p_{\theta}\left(\tau^{n}\right) \\
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&=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \sum_{t=1}^{T_{n}} R\left(\tau^{n}\right) \nabla \log p_{\theta}\left(a_{t}^{n} \mid s_{t}^{n}\right)
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\end{aligned}
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$$
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$p_{\theta}(\tau)$ 里面有两项，$p(s_{t+1}|s_t,a_t)$ 来自于 environment，$p_\theta(a_t|s_t)$ 是来自于 agent。 $p(s_{t+1}|s_t,a_t)$ 由环境决定从而与 $\theta$ 无关，因此 $\nabla \log p(s_{t+1}|s_t,a_t) =0 $。因此 $\nabla p_{\theta}(\tau)=
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\nabla \log p_{\theta}\left(a_{t}^{n} | s_{t}^{n}\right)$。 公式的具体推导可见我们的教程。
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具体来说：
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* 假设你在 $s_t$ 执行 $a_t$，最后发现 $\tau$ 的 reward 是正的， 那你就要增加这一项的概率，即增加在 $s_t$ 执行 $a_t$ 的概率。
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* 反之，在 $s_t$ 执行 $a_t$ 会导致$\tau$ 的 reward 变成负的， 你就要减少这一项的概率。
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- 我们可以使用哪些方法来进行gradient ascent的计算？
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答：用 gradient ascent 来 update 参数，对于原来的参数 $\theta$ ，可以将原始的 $\theta$ 加上更新的 gradient 这一项，再乘以一个 learning rate，learning rate 其实也是要调的，和神经网络一样，我们可以使用 Adam、RMSProp 等优化器对其进行调整。
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- 我们进行基于梯度策略的优化时的小技巧有哪些？
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答：
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1. **Add a baseline：**为了防止所有的reward都大于0，从而导致每一个stage和action的变换，会使得每一项的概率都会上升。所以通常为了解决这个问题，我们把reward 减掉一项叫做 b，这项 b 叫做 baseline。你减掉这项 b 以后，就可以让 $R(\tau^n)-b$ 这一项， 有正有负。 所以如果得到的 total reward $R(\tau^n)$ 大于 b 的话，就让它的概率上升。如果这个 total reward 小于 b，就算它是正的，正的很小也是不好的，你就要让这一项的概率下降。 如果$R(\tau^n)<b$ ， 你就要让这个 state 采取这个 action 的分数下降 。这样也符合常理。但是使用baseline会让本来reward很大的“行为”的reward变小，降低更新速率。
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2. **Assign suitable credit：** 首先第一层，本来的 weight 是整场游戏的 reward 的总和。那现在改成从某个时间 $t$ 开始，假设这个 action 是在 t 这个时间点所执行的，从 $t$ 这个时间点，一直到游戏结束所有 reward 的总和，才真的代表这个 action 是好的还是不好的；接下来我们再进一步，我们把未来的reward做一个discount，这里我们称由此得到的reward的和为**Discounted Return(折扣回报)** 。
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3. 综合以上两种tip，我们将其统称为**Advantage function**， 用 `A` 来代表 advantage function。Advantage function 是 dependent on s and a，我们就是要计算的是在某一个 state s 采取某一个 action a 的时候，advantage function 有多大。
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4. Advantage function 的意义就是，假设我们在某一个 state $s_t$ 执行某一个 action $a_t$，相较于其他可能的 action，它有多好。它在意的不是一个绝对的好，而是相对的好，即相对优势(relative advantage)。因为会减掉一个 b，减掉一个 baseline， 所以这个东西是相对的好，不是绝对的好。 $A^{\theta}\left(s_{t}, a_{t}\right)$ 通常可以是由一个 network estimate 出来的，这个 network 叫做 critic。
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- 对于梯度策略的两种方法，蒙特卡洛（MC）强化学习和时序差分（TD）强化学习两个方法有什么联系和区别？
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答：
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1. **两者的更新频率不同**，蒙特卡洛强化学习方法是**每一个episode更新一次**，即需要经历完整的状态序列后再更新（比如我们的贪吃蛇游戏，贪吃蛇“死了”游戏结束后再更新），而对于时序差分强化学习方法是**每一个step就更新一次** ，（比如我们的贪吃蛇游戏，贪吃蛇每移动一次（或几次）就进行更新）。相对来说，时序差分强化学习方法比蒙特卡洛强化学习方法更新的频率更快。
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2. 时序差分强化学习能够在知道一个小step后就进行学习，相比于蒙特卡洛强化学习，其更加**快速、灵活**。
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3. 具体举例来说：假如我们要优化开车去公司的通勤时间。对于此问题，每一次通勤，我们将会到达不同的路口。对于时序差分（TD）强化学习，其会对于每一个经过的路口都会计算时间，例如在路口 A 就开始更新预计到达路口 B、路口 C $\cdots \cdots$, 以及到达公司的时间；而对于蒙特卡洛（MC）强化学习，其不会每经过一个路口就更新时间，而是到达最终的目的地后，再修改每一个路口和公司对应的时间。
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- 请详细描述REINFORCE的计算过程。
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答：首先我们需要根据一个确定好的policy model来输出每一个可能的action的概率，对于所有的action的概率，我们使用sample方法（或者是随机的方法）去选择一个action与环境进行交互，同时环境就会给我们反馈一整个episode数据。对于此episode数据输入到learn函数中，并根据episode数据进行loss function的构造，通过adam等优化器的优化，再来更新我们的policy model。
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## 3 Something About Interview
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- 高冷的面试官：同学来吧，给我手工推导一下策略梯度公式的计算过程。
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答：首先我们目的是最大化reward函数，即调整 $\theta$ ，使得期望回报最大，可以用公式表示如下
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J(\theta)=E_{\tau \sim p_{\theta(\mathcal{T})}}[\sum_tr(s_t,a_t)]
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对于上面的式子， $\tau$ 表示从从开始到结束的一条完整路径。通常，对于最大化问题，我们可以使用梯度上升算法来找到最大值，即
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\theta^* = \theta + \alpha\nabla J({\theta})
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所以我们仅仅需要计算（更新）$\nabla J({\theta})$ ，也就是计算回报函数 $J({\theta})$ 关于 $\theta$ 的梯度，也就是策略梯度，计算方法如下：
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\nabla_{\theta}J(\theta) = \int {\nabla}_{\theta}p_{\theta}(\tau)r(\tau)d_{\tau}
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=\int p_{\theta}{\nabla}_{\theta}logp_{\theta}(\tau)r(\tau)d_{\tau}=E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}[{\nabla}_{\theta}logp_{\theta}(\tau)r(\tau)]
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接着我们继续讲上式展开，对于 $p_{\theta}(\tau)$ ，即 $p_{\theta}(\tau|{\theta})$ :
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p_{\theta}(\tau|{\theta}) = p(s_1)\prod_{t=1}^T \pi_{\theta}(a_t|s_t)p(s_{t+1}|s_t,a_t)
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取对数后为：
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logp_{\theta}(\tau|{\theta}) = logp(s_1)+\sum_{t=1}^T log\pi_{\theta}(a_t|s_t)p(s_{t+1}|s_t,a_t)
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继续求导：
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\nabla logp_{\theta}(\tau|{\theta}) = \sum_{t=1}^T \nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(a_t|s_t)
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带入第三个式子，可以将其化简为：
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\nabla_{\theta}J(\theta) =E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}[{\nabla}_{\theta}logp_{\theta}(\tau)r(\tau)] = E_{\tau \sim p_{\theta}}[(\nabla_{\theta}log\pi_{\theta}(a_t|s_t))(\sum_{t=1}^Tr(s_t,a_t))] = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N[(\sum_{t=1}^T\nabla_{\theta}log \pi_{\theta}(a_{i,t}|s_{i,t}))(\sum_{t=1}^Nr(s_{i,t},a_{i,t}))]
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- 高冷的面试官：可以说一下你了解到的基于梯度策略的优化时的小技巧吗？
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答：
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1. **Add a baseline：**为了防止所有的reward都大于0，从而导致每一个stage和action的变换，会使得每一项的概率都会上升。所以通常为了解决这个问题，我们把reward 减掉一项叫做 b，这项 b 叫做 baseline。你减掉这项 b 以后，就可以让 $R(\tau^n)-b$ 这一项， 有正有负。 所以如果得到的 total reward $R(\tau^n)$ 大于 b 的话，就让它的概率上升。如果这个 total reward 小于 b，就算它是正的，正的很小也是不好的，你就要让这一项的概率下降。 如果$R(\tau^n)<b$ ， 你就要让这个 state 采取这个 action 的分数下降 。这样也符合常理。但是使用baseline会让本来reward很大的“行为”的reward变小，降低更新速率。
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2. **Assign suitable credit：** 首先第一层，本来的 weight 是整场游戏的 reward 的总和。那现在改成从某个时间 $t$ 开始，假设这个 action 是在 t 这个时间点所执行的，从 $t$ 这个时间点，一直到游戏结束所有 reward 的总和，才真的代表这个 action 是好的还是不好的；接下来我们再进一步，我们把未来的reward做一个discount，这里我们称由此得到的reward的和为**Discounted Return(折扣回报)** 。
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3. 综合以上两种tip，我们将其统称为**Advantage function**， 用 `A` 来代表 advantage function。Advantage function 是 dependent on s and a，我们就是要计算的是在某一个 state s 采取某一个 action a 的时候，advantage function 有多大。
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