diff --git a/docs/chapter4/chapter4.md b/docs/chapter4/chapter4.md index 46b0242..9636ae6 100644 --- a/docs/chapter4/chapter4.md +++ b/docs/chapter4/chapter4.md @@ -3,58 +3,58 @@ ![](img/4.1.png) -在 reinforcement learning 中有 3 个 components：`actor`、`environment` 和 `reward function`。 +在强化学习中有 3 个组成部分：`演员(actor)`、`环境(environment)` 和 `奖励函数(reward function)`。 -让机器玩 video game 时， +让机器玩视频游戏时， -* actor 做的事情就是去操控游戏的摇杆， 比如说向左、向右、开火等操作； -* environment 就是游戏的主机， 负责控制游戏的画面负责控制说，怪物要怎么移动， 你现在要看到什么画面等等； -* reward function 就是当你做什么事情，发生什么状况的时候，你可以得到多少分数， 比如说杀一只怪兽得到 20 分等等。 +* 演员做的事情就是去操控游戏的摇杆， 比如说向左、向右、开火等操作； +* 环境就是游戏的主机， 负责控制游戏的画面负责控制说，怪物要怎么移动， 你现在要看到什么画面等等； +* 奖励函数就是当你做什么事情，发生什么状况的时候，你可以得到多少分数， 比如说杀一只怪兽得到 20 分等等。 同样的概念用在围棋上也是一样的， -* actor 就是 alpha Go，它要决定下哪一个位置； -* environment 就是对手； -* reward function 就是按照围棋的规则， 赢就是得一分，输就是负一分等等。 +* 演员就是 alpha Go，它要决定下哪一个位置； +* 环境就是对手； +* 奖励函数就是按照围棋的规则， 赢就是得一分，输就是负一分等等。 -在 reinforcement learning 里面，environment 跟 reward function 不是你可以控制的，environment 跟 reward function 是在开始学习之前，就已经事先给定的。你唯一能做的事情是调整 actor 里面的 policy，使得 actor 可以得到最大的 reward。Actor 里面会有一个 policy， 这个 policy 决定了 actor 的行为。Policy 就是给一个外界的输入，然后它会输出 actor 现在应该要执行的行为。 +在强化学习里面，环境跟奖励函数不是你可以控制的，环境跟奖励函数是在开始学习之前，就已经事先给定的。你唯一能做的事情是调整 演员里面的策略(policy)，使得 演员可以得到最大的奖励。演员里面会有一个策略， 这个策略决定了演员的行为。策略就是给一个外界的输入，然后它会输出演员现在应该要执行的行为。 ![](img/4.2.png) -* Policy 一般写成 $\pi$。假设你是用 deep learning 的技术来做 reinforcement learning 的话，**policy 就是一个 network**。Network 里面就有一堆参数， 我们用 $\theta$ 来代表 $\pi$ 的参数。 +* 策略一般写成 $\pi$。假设你是用深度学习的技术来做强化学习的话，**策略就是一个网络**。网络里面就有一堆参数， 我们用 $\theta$ 来代表 $\pi$ 的参数。 -* **Network 的 input 就是现在 machine 看到的东西**，如果让 machine 打电玩的话，machine 看到的东西就是游戏的画面。Machine 看到什么东西，会影响你现在 training 到底好不好 train。举例来说，在玩游戏的时候， 也许你觉得游戏的画面，前后是相关的，也许你觉得说，你应该让你的 policy，看从游戏初始到现在这个时间点，所有画面的总和。你可能会觉得你要用到 RNN 来处理它，不过这样子会比较难处理。要让你的 machine，你的 policy 看到什么样的画面， 这个是你自己决定的。让你知道说给机器看到什么样的游戏画面，可能是比较有效的。 -* **Output 的就是机器要采取什么样的行为。** +* **网络的输入就是现在机器看到的东西**，如果让机器打电玩的话，机器看到的东西就是游戏的画面。机器看到什么东西，会影响你现在训练到底好不好训练。举例来说，在玩游戏的时候， 也许你觉得游戏的画面，前后是相关的，也许你觉得说，你应该让你的策略，看从游戏初始到现在这个时间点，所有画面的总和。你可能会觉得你要用到 RNN 来处理它，不过这样子会比较难处理。要让你的机器，你的策略 看到什么样的画面， 这个是你自己决定的。让你知道说给机器看到什么样的游戏画面，可能是比较有效的。 +* **输出的就是机器要采取什么样的行为。** * 上图就是具体的例子， - * policy 就是一个 network； - * input 就是游戏的画面，它通常是由 pixels 所组成的； - * output 就是看看说有哪些选项是你可以去执行的，output layer 就有几个 neurons。 - * 假设你现在可以做的行为有 3 个，output layer 就是有 3 个 neurons。每个 neuron 对应到一个可以采取的行为。 - * Input 一个东西后，network 就会给每一个可以采取的行为一个分数。你可以把这个分数当作是概率。 actor 就是看这个概率的分布，根据这个概率的分布来决定它要采取的行为。比如说 70% 会走 left，20% 走 right，10% 开火等等。概率分布不同，actor 采取的行为就会不一样。 + * 策略就是一个网络； + * 输入 就是游戏的画面，它通常是由像素(pixels)所组成的； + * 输出就是看看说有哪些选项是你可以去执行的，输出层就有几个神经元。 + * 假设你现在可以做的行为有 3 个，输出层就是有 3 个神经元。每个神经元对应到一个可以采取的行为。 + * 输入一个东西后，网络就会给每一个可以采取的行为一个分数。你可以把这个分数当作是概率。演员就是看这个概率的分布，根据这个概率的分布来决定它要采取的行为。比如说 70% 会走 left，20% 走 right，10% 开火等等。概率分布不同，演员采取的行为就会不一样。 ![](img/4.3.png) -**接下来用一个例子来说明 actor 是怎么样跟环境互动的。** +**接下来用一个例子来说明演员是怎么样跟环境互动的。** -首先 actor 会看到一个游戏画面，我们用 $s_1$ 来表示游戏初始的画面。接下来 actor 看到这个游戏的初始画面以后，根据它内部的 network，根据它内部的 policy 来决定一个 action。假设它现在决定的 action 是向右，它决定完 action 以后，它就会得到一个 reward ，代表它采取这个 action 以后得到的分数。 +首先演员会看到一个游戏画面，我们用 $s_1$ 来表示游戏初始的画面。接下来演员看到这个游戏的初始画面以后，根据它内部的网络，根据它内部的策略来决定一个动作。假设它现在决定的动作 是向右，它决定完动作 以后，它就会得到一个奖励，代表它采取这个动作以后得到的分数。 -我们把一开始的初始画面记作 $s_1$， 把第一次执行的动作记作 $a_1$，把第一次执行动作完以后得到的 reward 记作 $r_1$。不同的书会有不同的定义，有人会觉得说这边应该要叫做 $r_2$，这个都可以，你自己看得懂就好。Actor 决定一个行为以后， 就会看到一个新的游戏画面，这边是 $s_2$。然后把这个 $s_2$ 输入给 actor，这个 actor 决定要开火，然后它可能杀了一只怪，就得到五分。这个 process 就反复地持续下去，直到今天走到某一个 timestamp 执行某一个 action，得到 reward 之后， 这个 environment 决定这个游戏结束了。比如说，如果在这个游戏里面，你是控制绿色的船去杀怪，如果你被杀死的话，游戏就结束，或是你把所有的怪都清空，游戏就结束了。 +我们把一开始的初始画面记作 $s_1$， 把第一次执行的动作记作 $a_1$，把第一次执行动作完以后得到的奖励记作 $r_1$。不同的书会有不同的定义，有人会觉得说这边应该要叫做 $r_2$，这个都可以，你自己看得懂就好。演员 决定一个行为以后， 就会看到一个新的游戏画面，这边是 $s_2$。然后把这个 $s_2$ 输入给演员，这个演员决定要开火，然后它可能杀了一只怪，就得到五分。这个过程就反复地持续下去，直到今天走到某一个时间点执行某一个动作，得到奖励之后， 这个环境决定这个游戏结束了。比如说，如果在这个游戏里面，你是控制绿色的船去杀怪，如果你被杀死的话，游戏就结束，或是你把所有的怪都清空，游戏就结束了。 ![](img/4.4.png) -* 一场游戏叫做一个 `episode(回合)` 或者 `trial(试验)`。 -* 把这场游戏里面所有得到的 reward 都加起来，就是 `total reward`，我们称其为`return(回报)`，用 R 来表示它。 -* Actor 要想办法去最大化它可以得到的 reward。 +* 一场游戏叫做一个 `回合(episode)` 或者 `试验(trial)`。 +* 把这场游戏里面所有得到的奖励都加起来，就是 `总奖励(total reward)`，我们称其为`回报(return)`，用 R 来表示它。 +* 演员 要想办法去最大化它可以得到的奖励。 ![](img/4.5.png) -首先，`environment` 是一个`function`，游戏的主机也可以把它看作是一个 function，虽然它不一定是 neural network，可能是 rule-based 的规则，但你可以把它看作是一个 function。这个 function，一开始就先吐出一个 state，也就是游戏的画面，接下来你的 actor 看到这个游戏画面 $s_1$ 以后，它吐出 $a_1$，然后 environment 把 $a_1$ 当作它的输入，然后它再吐出 $s_2$，吐出新的游戏画面。Actor 看到新的游戏画面，再采取新的行为 $a_2$，然后 environment 再看到 $a_2$，再吐出 $s_3$。这个 process 会一直持续下去，直到 environment 觉得说应该要停止为止。 +首先，`环境` 是一个`函数`，游戏的主机也可以把它看作是一个函数，虽然它不一定是神经网络，可能是基于规则的(rule-based)规则，但你可以把它看作是一个函数。这个函数，一开始就先吐出一个状态，也就是游戏的画面，接下来你的演员看到这个游戏画面 $s_1$ 以后，它吐出 $a_1$，然后 环境把 $a_1$ 当作它的输入，然后它再吐出 $s_2$，吐出新的游戏画面。演员看到新的游戏画面，再采取新的行为 $a_2$，然后 环境再看到 $a_2$，再吐出 $s_3$。这个过程会一直持续下去，直到 环境觉得说应该要停止为止。 -在一场游戏里面，我们把 environment 输出的 $s$ 跟 actor 输出的行为 $a$，把这个 $s$ 跟 $a$ 全部串起来， 叫做一个 `Trajectory`，如下式所示。 +在一场游戏里面，我们把 环境输出的 $s$ 跟演员输出的行为 $a$，把这个 $s$ 跟 $a$ 全部串起来， 叫做一个 `Trajectory(轨迹)`，如下式所示。 $$ \text { Trajectory } \tau=\left\{s_{1}, a_{1}, s_{2}, a_{2}, \cdots, s_{t}, a_{t}\right\} $$ -每一个 trajectory，你可以计算它发生的概率。假设现在 actor 的参数已经被给定了话，就是 $\theta$。根据 $\theta$，你其实可以计算某一个 trajectory 发生的概率，你可以计算某一个回合，某一个 episode 里面， 发生这样子状况的概率。 +每一个轨迹，你可以计算它发生的概率。假设现在演员的参数已经被给定了话，就是 $\theta$。根据 $\theta$，你其实可以计算某一个轨迹 发生的概率，你可以计算某一个回合，某一个回合里面， 发生这样子状况的概率。 $$ \begin{aligned} @@ -64,48 +64,47 @@ p_{\theta}(\tau) \end{aligned} $$ -怎么算呢，如上式所示。在假设 actor 的参数就是 $\theta$ 的情况下，某一个 trajectory $\tau$ 的概率就是这样算的，你先算 environment 输出 $s_1$ 的概率，再计算根据 $s_1$ 执行 $a_1$ 的概率，这是由你 policy 里面的 network 参数 $\theta$ 所决定的， 它是一个概率，因为你的 policy 的 network 的 output 是一个 distribution，actor 是根据这个 distribution 去做 sample，决定现在实际上要采取的 action是哪一个。接下来 environment 根据 $a_1$ 跟 $s_1$ 产生 $s_2$，因为 $s_2$ 跟$s_1$ 还是有关系的，下一个游戏画面，跟前一个游戏画面通常还是有关系的，至少要是连续的， 所以给定前一个游戏画面 $s_1$ 和现在 actor 采取的行为 $a_1$，就会产生 $s_2$。 +怎么算呢，如上式所示。在假设演员的参数就是 $\theta$ 的情况下，某一个轨迹 $\tau$ 的概率就是这样算的，你先算 环境输出 $s_1$ 的概率，再计算根据 $s_1$ 执行 $a_1$ 的概率，这是由你策略里面的网络参数 $\theta$ 所决定的， 它是一个概率，因为你的策略的网络的输出是一个分布，演员是根据这个分布去做采样，决定现在实际上要采取的动作是哪一个。接下来环境根据 $a_1$ 跟 $s_1$ 产生 $s_2$，因为 $s_2$ 跟$s_1$ 还是有关系的，下一个游戏画面，跟前一个游戏画面通常还是有关系的，至少要是连续的， 所以给定前一个游戏画面 $s_1$ 和现在演员采取的行为 $a_1$，就会产生 $s_2$。 -这件事情可能是概率，也可能不是概率，这个取决于 environment，就是主机它内部设定是怎样。看今天这个主机在决定，要输出什么样的游戏画面的时候，有没有概率。因为如果没有概率的话，这个游戏的每次的行为都一样，你只要找到一条 path 就可以过关了，这样感觉是蛮无聊的 。所以游戏里面，通常是还是有一些概率的，你做同样的行为，给同样的前一个画面， 下次产生的画面不见得是一样的。Process 就反复继续下去，你就可以计算一个 trajectory $s_1$,$a_1$, $s_2$ , $a_2$ 出现的概率有多大。 +这件事情可能是概率，也可能不是概率，这个取决于 环境，就是主机它内部设定是怎样。看今天这个主机在决定，要输出什么样的游戏画面的时候，有没有概率。因为如果没有概率的话，这个游戏的每次的行为都一样，你只要找到一条路径就可以过关了，这样感觉是蛮无聊的 。所以游戏里面通常还是有一些概率的，你做同样的行为，给同样的前一个画面， 下次产生的画面不见得是一样的。过程就反复继续下去，你就可以计算一个轨迹 $s_1$,$a_1$, $s_2$ , $a_2$ 出现的概率有多大。 **这个概率取决于两部分**， -* 一部分是 `environment 的行为`， environment 的 function 它内部的参数或内部的规则长什么样子。 $p(s_{t+1}|s_t,a_t)$这一项代表的是 environment， environment 这一项通常你是无法控制它的，因为那个是人家写好的，你不能控制它。 -* 另一部分是 `agent 的行为`。你能控制的是 $p_\theta(a_t|s_t)$。给定一个 $s_t$， actor 要采取什么样的 $a_t$ 会取决于你 actor 的参数 $\theta$， 所以这部分是 actor 可以自己控制的。随着 actor 的行为不同，每个同样的 trajectory， 它就会有不同的出现的概率。 +* 一部分是 `环境的行为`， 环境的函数 它内部的参数或内部的规则长什么样子。 $p(s_{t+1}|s_t,a_t)$这一项代表的是 环境， 环境这一项通常你是无法控制它的，因为那个是人家写好的，你不能控制它。 +* 另一部分是 `agent 的行为`。你能控制的是 $p_\theta(a_t|s_t)$。给定一个 $s_t$，演员要采取什么样的 $a_t$ 会取决于你演员的参数 $\theta$， 所以这部分是演员可以自己控制的。随着演员的行为不同，每个同样的轨迹， 它就会有不同的出现的概率。 ![](img/4.6.png) -在 reinforcement learning 里面，除了 environment 跟 actor 以外， 还有`reward function`。 +在强化学习里面，除了 环境跟演员以外， 还有`奖励函数(reward function)`。 -Reward function 根据在某一个 state 采取的某一个 action 决定说现在这个行为可以得到多少的分数。 它是一个 function，给它 $s_1$，$a_1$，它告诉你得到 $r_1$。给它 $s_2$ ，$a_2$，它告诉你得到 $r_2$。 把所有的 $r$ 都加起来，我们就得到了 $R(\tau)$ ，代表某一个 trajectory $\tau$ 的 reward。 +奖励函数根据在某一个状态采取的某一个动作 决定说现在这个行为可以得到多少的分数。 它是一个函数，给它 $s_1$，$a_1$，它告诉你得到 $r_1$。给它 $s_2$ ，$a_2$，它告诉你得到 $r_2$。 把所有的 $r$ 都加起来，我们就得到了 $R(\tau)$ ，代表某一个轨迹 $\tau$ 的奖励。 -在某一场游戏里面， 某一个 episode 里面，我们会得到 R。**我们要做的事情就是调整 actor 内部的参数 $\theta$， 使得 R 的值越大越好。** 但实际上 reward 并不只是一个 scalar，reward 其实是一个 random variable。R 其实是一个 random variable，因为 actor 在给定同样的 state 会做什么样的行为，这件事情是有随机性的。Environment 在给定同样的 observation 要采取什么样的 action，要产生什么样的 observation，本身也是有随机性的。所以 R 是一个 random variable，你能够计算的，是它的期望值。你能够计算的是说，在给定某一组参数 $\theta$ 的情况下，我们会得到的 R 的期望值是多少。 +在某一场游戏里面， 某一个回合里面，我们会得到 R。**我们要做的事情就是调整演员内部的参数 $\theta$， 使得 R 的值越大越好。** 但实际上奖励并不只是一个标量，奖励其实是一个随机变量。R 其实是一个随机变量，因为演员在给定同样的状态会做什么样的行为，这件事情是有随机性的。环境在给定同样的观测要采取什么样的动作，要产生什么样的观测，本身也是有随机性的。所以 R 是一个随机变量，你能够计算的，是它的期望值。你能够计算的是说，在给定某一组参数 $\theta$ 的情况下，我们会得到的 R 的期望值是多少。 $$ \bar{R}_{\theta}=\sum_{\tau} R(\tau) p_{\theta}(\tau) $$ -这个期望值的算法如上式所示，穷举所有可能的 trajectory $\tau$， 每一个 trajectory $\tau$ 都有一个概率。比如 $\theta$ 是一个很强的 model， 那它都不会死。如果有一个 episode 很快就死掉了， 它的概率就很小；如果有一个 episode 都一直没有死， 那它的概率就很大。根据你的 $\theta$， 你可以算出某一个 trajectory $\tau$ 出现的概率，接下来你计算这个 $\tau$ 的 total reward 是多少。 Total reward weighted by 这个 $\tau$ 出现的概率，对所有的 $\tau$ 进行求和，就是期望值。给定一个参数，你会得到的期望值。 +这个期望值的算法如上式所示，穷举所有可能的轨迹 $\tau$， 每一个轨迹 $\tau$ 都有一个概率。比如 $\theta$ 是一个很强的模型， 那它都不会死。如果有一个回合很快就死掉了， 它的概率就很小；如果有一个回合都一直没有死， 那它的概率就很大。根据你的 $\theta$， 你可以算出某一个轨迹 $\tau$ 出现的概率，接下来你计算这个 $\tau$ 的总奖励是多少。总奖励使用这个 $\tau$ 出现的概率进行加权，对所有的 $\tau$ 进行求和，就是期望值。给定一个参数，你会得到的期望值。 $$ \bar{R}_{\theta}=\sum_{\tau} R(\tau) p_{\theta}(\tau)=E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}[R(\tau)] $$ -我们还可以写成上式那样，从 $p_{\theta}(\tau)$ 这个 distribution sample 一个 trajectory $\tau$，然后计算 $R(\tau)$ 的期望值，就是你的 expected reward。 我们要做的事情就是 maximize expected reward。 +我们还可以写成上式那样，从 $p_{\theta}(\tau)$ 这个分布采样一个轨迹 $\tau$，然后计算 $R(\tau)$ 的期望值，就是你的期望的奖励。 我们要做的事情就是最大化期望奖励。 ![](img/4.7.png) -怎么 maximize expected reward 呢？我们用的是 `gradient ascent`，因为要让它越大越好，所以是 gradient ascent。Gradient ascent 在 update 参数的时候要加。要进行 gradient ascent，我们先要计算 expected reward $\bar{R}$ 的 gradient 。我们对 $\bar{R}$ 取一个 gradient，这里面只有 $p_{\theta}(\tau)$ 是跟 $\theta$ 有关，所以 gradient 就放在 $p_{\theta}(\tau)$ 这个地方。$R(\tau)$ 这个 reward function 不需要是 differentiable，我们也可以解接下来的问题。举例来说，如果是在 GAN 里面，$R(\tau)$ 其实是一个 discriminator，它就算是没有办法微分，也无所谓，你还是可以做接下来的运算。 +怎么最大化期望奖励呢？我们用的是 `梯度上升(gradient ascent)`，因为要让它越大越好，所以是梯度上升。梯度上升在更新参数的时候要加。要进行梯度上升，我们先要计算期望的奖励(expected reward) $\bar{R}$ 的梯度。我们对 $\bar{R}$ 取一个梯度，这里面只有 $p_{\theta}(\tau)$ 是跟 $\theta$ 有关，所以梯度就放在 $p_{\theta}(\tau)$ 这个地方。$R(\tau)$ 这个奖励函数 不需要是 differentiable，我们也可以解接下来的问题。举例来说，如果是在 GAN 里面，$R(\tau)$ 其实是一个 discriminator，它就算是没有办法微分，也无所谓，你还是可以做接下来的运算。 -取 gradient之后，我们背一个公式： +取梯度之后，我们背一个公式： $$ \nabla f(x)=f(x)\nabla \log f(x) $$ 我们可以对 $\nabla p_{\theta}(\tau)$ 使用这个公式，然后会得到 $\nabla p_{\theta}(\tau)=p_{\theta}(\tau) \nabla \log p_{\theta}(\tau)$。 -接下来， 分子分母，上下同乘$p_{\theta}(\tau)$，然后我们可以得到下式： +接下来， 分子分母，上下同乘 $p_{\theta}(\tau)$，然后我们可以得到下式： $$ \frac{\nabla p_{\theta}(\tau)}{p_{\theta}(\tau)}=\log p_{\theta}(\tau) $$ - 然后如下式所示， 对 $\tau$ 进行求和，把 $R(\tau)$ 和 $\log p_{\theta}(\tau)$ 这两项 weighted by $ p_{\theta}(\tau)$， 既然有 weighted by $p_{\theta}(\tau)$，它们就可以被写成这个 expected 的形式。也就是你从 $p_{\theta}(\tau)$ 这个 distribution 里面 sample $\tau$ 出来， 去计算 $R(\tau)$ 乘上 $\nabla\log p_{\theta}(\tau)$，然后把它对所有可能的 $\tau$ 进行求和，就是这个 expected value 。 - + 然后如下式所示， 对 $\tau$ 进行求和，把 $R(\tau)$ 和 $\log p_{\theta}(\tau)$ 这两项使用 $p_{\theta}(\tau)$ 进行加权， 既然使用 $p_{\theta}(\tau)$ 进行加权 ，它们就可以被写成这个期望的形式。也就是你从 $p_{\theta}(\tau)$ 这个分布里面采样 $\tau$ 出来， 去计算 $R(\tau)$ 乘上 $\nabla\log p_{\theta}(\tau)$，然后把它对所有可能的 $\tau$ 进行求和，就是这个期望的值(expected value)。 $$ \begin{aligned} \nabla \bar{R}_{\theta}&=\sum_{\tau} R(\tau) \nabla p_{\theta}(\tau)\\&=\sum_{\tau} R(\tau) p_{\theta}(\tau) \frac{\nabla p_{\theta}(\tau)}{p_{\theta}(\tau)} \\&= @@ -114,58 +113,58 @@ $$ \end{aligned} $$ -实际上这个 expected value 没有办法算，所以你是用 sample 的方式来 sample 一大堆的 $\tau$。你 sample $N$ 笔 $\tau$， 然后你去计算每一笔的这些 value，然后把它全部加起来，就可以得到你的 gradient。你就可以去 update 你的参数，你就可以去 update 你的 agent，如下式所示。 +实际上这个期望值没有办法算，所以你是用采样的方式来采样一大堆的 $\tau$。你采样 $N$ 笔 $\tau$， 然后你去计算每一笔的这些值，然后把它全部加起来，就可以得到你的梯度。你就可以去更新你的参数，你就可以去更新你的 agent，如下式所示。 $$ \begin{aligned} E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}\left[R(\tau) \nabla \log p_{\theta}(\tau)\right] &\approx \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} R\left(\tau^{n}\right) \nabla \log p_{\theta}\left(\tau^{n}\right) \\ &=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \sum_{t=1}^{T_{n}} R\left(\tau^{n}\right) \nabla \log p_{\theta}\left(a_{t}^{n} \mid s_{t}^{n}\right) \end{aligned} $$ -注意 $p_{\theta}(\tau)$ 里面有两项，$p(s_{t+1}|s_t,a_t)$ 来自于 environment，$p_\theta(a_t|s_t)$ 是来自于 agent。 $p(s_{t+1}|s_t,a_t)$ 由环境决定从而与 $\theta$ 无关，因此 $\nabla \log p(s_{t+1}|s_t,a_t) =0 $。因此 $\nabla p_{\theta}(\tau)= +注意 $p_{\theta}(\tau)$ 里面有两项，$p(s_{t+1}|s_t,a_t)$ 来自于环境，$p_\theta(a_t|s_t)$ 是来自于 agent。 $p(s_{t+1}|s_t,a_t)$ 由环境决定从而与 $\theta$ 无关，因此 $\nabla \log p(s_{t+1}|s_t,a_t) =0 $。因此 $\nabla p_{\theta}(\tau)= \nabla \log p_{\theta}\left(a_{t}^{n} | s_{t}^{n}\right)$。 -你可以非常直观的来理解这个部分，也就是在你 sample 到的 data 里面， 你 sample 到，在某一个 state $s_t$ 要执行某一个 action $a_t$， 这个 $s_t$ 跟 $a_t$ 它是在整个 trajectory $\tau$ 的里面的某一个 state and action 的 pair。 +你可以非常直观的来理解这个部分，也就是在你采样到的数据里面， 你采样到，在某一个状态 $s_t$ 要执行某一个动作 $a_t$， 这个 $s_t$ 跟 $a_t$ 它是在整个轨迹 $\tau$ 的里面的某一个状态和动作的对。 -* 假设你在 $s_t$ 执行 $a_t$，最后发现 $\tau$ 的 reward 是正的， 那你就要增加这一项的概率，你就要增加在 $s_t$ 执行 $a_t$ 的概率。 -* 反之，在 $s_t$ 执行 $a_t$ 会导致$\tau$ 的 reward 变成负的， 你就要减少这一项的概率。 +* 假设你在 $s_t$ 执行 $a_t$，最后发现 $\tau$ 的奖励是正的， 那你就要增加这一项的概率，你就要增加在 $s_t$ 执行 $a_t$ 的概率。 +* 反之，在 $s_t$ 执行 $a_t$ 会导致 $\tau$ 的奖励变成负的， 你就要减少这一项的概率。 ![](img/4.8.png) -这个怎么实现呢？ 你用 gradient ascent 来 update 你的参数，你原来有一个参数 $\theta$ ，把你的 $\theta$ 加上你的 gradient 这一项，那当然前面要有个 learning rate，learning rate 其实也是要调的，你可用 Adam、RMSProp 等方法对其进行调整。 +这个怎么实现呢？ 你用梯度上升来更新你的参数，你原来有一个参数 $\theta$ ，把你的 $\theta$ 加上你的梯度这一项，那当然前面要有个学习率，学习率也是要调整的，你可用 Adam、RMSProp 等方法对其进行调整。 -我们可以套下面这个公式来把 gradient 计算出来: +我们可以套下面这个公式来把梯度计算出来: $$ \nabla \bar{R}_{\theta}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \sum_{t=1}^{T_{n}} R\left(\tau^{n}\right) \nabla \log p_{\theta}\left(a_{t}^{n} | s_{t}^{n}\right) $$ -实际上，要套上面这个公式， 首先你要先收集一大堆的 s 跟 a 的 pair，你还要知道这些 s 跟 a 在跟环境互动的时候，你会得到多少的 reward。 这些资料怎么收集呢？你要拿你的 agent，它的参数是 $\theta$，去跟环境做互动， 也就是拿你已经 train 好的 agent 先去跟环境玩一下，先去跟那个游戏互动一下， 互动完以后，你就会得到一大堆游戏的纪录，你会记录说，今天先玩了第一场，在第一场游戏里面，我们在 state $s_1$ 采取 action $a_1$，在 state $s_2$ 采取 action $a_2$ 。 +实际上，要套上面这个公式， 首先你要先收集一大堆的 s 跟 a 的对，你还要知道这些 s 跟 a 在跟环境互动的时候，你会得到多少的奖励。 这些资料怎么收集呢？你要拿你的 agent，它的参数是 $\theta$，去跟环境做互动， 也就是拿你已经训练好的 agent 先去跟环境玩一下，先去跟那个游戏互动一下， 互动完以后，你就会得到一大堆游戏的纪录，你会记录说，今天先玩了第一场，在第一场游戏里面，我们在状态 $s_1$ 采取动作 $a_1$，在状态$s_2$ 采取动作 $a_2$ 。 -玩游戏的时候是有随机性的，所以 agent 本身是有随机性的，在同样 state $s_1$，不是每次都会采取 $a_1$，所以你要记录下来。在 state $s_1^1$ 采取 $a_1^1$，在 state $s_2^1$ 采取 $a_2^1$。整场游戏结束以后，得到的分数是$R(\tau^1)$。你会 sample 到另外一笔 data，也就是另外一场游戏。在另外一场游戏里面，你在 state $s_1^2$ 采取 $a_1^2$，在 state $s_2^2$ 采取 $a_2^2$，然后你 sample 到的就是 $\tau^2$，得到的 reward 是 $R(\tau^2)$。 +玩游戏的时候是有随机性的，所以 agent 本身是有随机性的，在同样状态$s_1$，不是每次都会采取 $a_1$，所以你要记录下来。在状态$s_1^1$ 采取 $a_1^1$，在状态$s_2^1$ 采取 $a_2^1$。整场游戏结束以后，得到的分数是 $R(\tau^1)$。你会采样到另外一笔数据，也就是另外一场游戏。在另外一场游戏里面，你在状态$s_1^2$ 采取 $a_1^2$，在状态 $s_2^2$ 采取 $a_2^2$，然后你采样到的就是 $\tau^2$，得到的奖励是 $R(\tau^2)$。 -你就可以把 sample 到的东西代到这个 gradient 的式子里面，把 gradient 算出来。也就是把这边的每一个 s 跟 a 的 pair 拿进来，算一下它的 log probability 。你计算一下在某一个 state 采取某一个 action 的 log probability，然后对它取 gradient，然后这个 gradient 前面会乘一个 weight，weight 就是这场游戏的 reward。 有了这些以后，你就会去 update 你的 model。 +你就可以把采样到的东西代到这个梯度的式子里面，把梯度算出来。也就是把这边的每一个 s 跟 a 的对拿进来，算一下它的对数概率(log probability)。你计算一下在某一个状态采取某一个动作的对数概率，然后对它取梯度，然后这个梯度前面会乘一个权重，权重就是这场游戏的奖励。 有了这些以后，你就会去更新你的模型。 -Update 完你的 model 以后。你要重新去收集 data，再 update model。这边要注意一下，一般 `policy gradient(PG) ` sample 的 data 就只会用一次。你把这些 data sample 起来，然后拿去 update 参数，这些 data 就丢掉了。接着再重新 sample data，才能够去 update 参数， 等一下我们会解决这个问题。 +更新完你的模型以后。你要重新去收集数据，再更新模型。这边要注意一下，一般 `policy gradient(PG) `采样的数据就只会用一次。你把这些数据采样起来，然后拿去更新参数，这些数据就丢掉了。接着再重新采样数据，才能够去更新参数， 等一下我们会解决这个问题。 ![](img/4.9.png) **接下来讲一些实现细节。** -我们可以把它想成一个分类的问题，在 classification 里面就是 input 一个 image，然后 output 决定说是 10 个 class 里面的哪一个。在做 classification 时，我们要收集一堆 training data，要有 input 跟 output 的 pair。 +我们可以把它想成一个分类的问题，在分类里面就是输入一个图像，然后输出决定说是 10 个类里面的哪一个。在做分类时，我们要收集一堆训练数据，要有输入跟输出的对(pair)。 -在实现的时候，你就把 state 当作是 classifier 的 input。 你就当在做 image classification 的 problem，只是现在的 class 不是说 image 里面有什么 objects。 现在的 class 是说，看到这张 image 我们要采取什么样的行为，每一个行为就是一个 class。比如说第一个 class 叫做向左，第二个 class 叫做向右，第三个 class 叫做开火。 +在实现的时候，你就把状态当作是分类器的输入。 你就当在做图像分类的问题，只是现在的类不是说图像里面有什么东西。 现在的类是说，看到这张图像我们要采取什么样的行为，每一个行为就是一个类。比如说第一个类叫做向左，第二个类叫做向右，第三个类叫做开火。 -这些训练的数据从哪里来的呢？ 做分类的问题时，要有 input 和正确的 output。 这些训练数据是从 sampling 的 process 来的。假设在 sampling 的 process 里面，在某一个 state，你 sample 到你要采取 action a， 你就把这个 action a 当作是你的 ground truth。你在这个 state，你 sample 到要向左。 本来向左这件事概率不一定是最高， 因为你是 sample，它不一定概率最高。假设你 sample 到向左，在 training 的时候 你叫告诉 machine 说，调整 network 的参数， 如果看到这个 state，你就向左。在一般的 classification 的 problem 里面，其实你在 implement classification 的时候， 你的 objective function 都会写成 minimize cross entropy，其实 minimize cross entropy 就是 maximize log likelihood。 +这些训练的数据从哪里来的呢？ 做分类的问题时，要有输入和正确的输出。这些训练数据是从采样的过程来的。假设在采样的过程里面，在某一个状态，你采样到你要采取动作 a， 你就把这个动作 a 当作是你的 ground truth。你在这个状态，你采样到要向左。 本来向左这件事概率不一定是最高， 因为你是采样，它不一定概率最高。假设你采样到向左，在训练的时候 你叫告诉机器说，调整网络的参数， 如果看到这个状态，你就向左。在一般的分类问题里面，其实你在实现分类的时候， 你的目标函数都会写成最小化交叉熵(cross entropy)，其实最小化交叉熵就是最大化对数似然(log likelihood)。 ![](img/4.10.png) -做 classification 的时候，objective function 就是 maximize 或 minimize 的对象， 因为我们现在是 maximize likelihood，所以其实是 maximize， 你要 maximize 的对象，如下式所示: +做分类的时候，目标函数就是最大化或最小化的对象， 因为我们现在是最大化似然(likelihood)，所以其实是最大化， 你要最大化的对象，如下式所示: $$ \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \sum_{t=1}^{T_{n}} \log p_{\theta}\left(a_{t}^{n} \mid s_{t}^{n}\right) $$ -像这种 loss function，你可在 TensorFlow 里调用现成的 function，它就会自动帮你算，然后你就可以把 gradient 计算出来。这是一般的分类问题，RL 唯一不同的地方是 loss 前面乘上一个 weight，这个是整场游戏的时候得到的 total reward R， 它并不是在 state s 采取 action a 的时候得到的 reward。 你要把你的每一笔 training data，都 weighted by 这个 R。然后你用 TensorFlow 或 PyTorch 去帮你算 gradient 就结束了，跟一般 classification 差不多。 +像这种损失函数，你可在 TensorFlow 里调用现成的函数，它就会自动帮你算，然后你就可以把梯度计算出来。这是一般的分类问题，RL 唯一不同的地方是 loss 前面乘上一个权重，这个是整场游戏的时候得到的总奖励 R， 它并不是在状态 s 采取动作 a 的时候得到的奖励。 你要把你的每一笔训练数据，都使用这个 R 进行加权。然后你用 TensorFlow 或 PyTorch 去帮你算梯度就结束了，跟一般分类差不多。 ## Tips 这边有一些在实现的时候，你也许用得上的 tip。 @@ -173,97 +172,97 @@ $$ ![](img/4.11.png) -**第一个 tip 是 add 一个 baseline。** 如果 given state s 采取 action a 会给你整场游戏正面的 reward，就要增加它的概率。如果 state s 执行 action a，整场游戏得到负的 reward，就要减少这一项的概率。 +**第一个 tip 是 add 一个 baseline。** 如果给定状态 s 采取动作 a 会给你整场游戏正的奖励，就要增加它的概率。如果状态s 执行动作 a，整场游戏得到负的奖励，就要减少这一项的概率。 -但在很多游戏里面， reward 总是正的，就是说最低都是 0。比如说打乒乓球游戏， 你的分数就是介于 0 到 21 分之间，所以这个 R 总是正的。假设你直接套用这个式子， 在 training 的时候，告诉 model 说，不管是什么 action 你都应该要把它的概率提升。 在理想上，这么做并不一定会有问题。因为虽然说 R 总是正的，但它正的量总是有大有小，你在玩乒乓球那个游戏里面，得到的 reward 总是正的，但它是介于 0~21分之间，有时候你采取某些 action 可能是得到 0 分，采取某些 action 可能是得到 20 分。 +但在很多游戏里面，奖励总是正的，就是说最低都是 0。比如说打乒乓球游戏， 你的分数就是介于 0 到 21 分之间，所以这个 R 总是正的。假设你直接套用这个式子， 在训练的时候告诉模型说，不管是什么动作你都应该要把它的概率提升。 在理想上，这么做并不一定会有问题。因为虽然说 R 总是正的，但它正的量总是有大有小，你在玩乒乓球那个游戏里面，得到的奖励总是正的，但它是介于 0~21分之间，有时候你采取某些动作 可能是得到 0 分，采取某些动作 可能是得到 20 分。 ![](img/4.12.png) -假设你有 3 个 action a/b/c 可以执行，在某一个 state 有 3 个 action a/b/c可以执行。根据这个式子，你要把这 3 项的概率， log probability 都拉高。 但是它们前面 weight 的这个 R 是不一样的。 R 是有大有小的，weight 小的，它上升的就少，weight 多的，它上升的就大一点。 因为这个 log probability，它是一个概率，所以action a、b、c 的和要是 0。 所以上升少的，在做完 normalize 以后， 它其实就是下降的，上升的多的，才会上升。 +假设你有 3 个动作 a/b/c 可以执行，在某一个状态有 3 个动作 a/b/c可以执行。根据这个式子，你要把这 3 项的概率，对数概率都拉高。 但是它们前面权重的这个 R 是不一样的。 R 是有大有小的，权重小的，它上升的就少，权重多的，它上升的就大一点。 因为这个对数概率，它是一个概率，所以动作 a、b、c 的和要是 0。 所以上升少的，在做完归一化(normalize)以后， 它其实就是下降的，上升的多的，才会上升。 ![1](img/4.13.png) -这是一个理想上的状况，但是实际上，我们是在做 sampling 就本来这边应该是一个 expectation， summation over 所有可能的 s 跟 a 的 pair。 但你真正在学的时候，当然不可能是这么做的，你只是 sample 了少量的 s 跟 a 的 pair 而已。 因为我们做的是 sampling，有一些 action 可能从来都没有 sample 到。在某一个 state1，虽然可以执行的 action 有 a/b/c 3 个，但你可能只 sample 到 action b，你可能只 sample 到 action c，你没有 sample 到 action a。但现在所有 action 的 reward 都是正的，所以根据这个式子，它的每一项的概率都应该要上升。你会遇到的问题是，因为 a 没有被 sample 到，其它 action 的概率如果都要上升，a 的概率就下降。 所以 a 不一定是一个不好的 action， 它只是没被 sample 到。但只是因为它没被 sample 到， 它的概率就会下降，这个显然是有问题的，要怎么解决这个问题呢？你会希望你的 reward 不要总是正的。 +这是一个理想上的状况，但是实际上，我们是在做采样就本来这边应该是一个期望(expectation)，对所有可能的 s 跟 a 的对进行求和。 但你真正在学的时候，当然不可能是这么做的，你只是采样了少量的 s 跟 a 的对而已。 因为我们做的是采样，有一些动作 可能从来都没有采样到。在某一个状态1，虽然可以执行的动作 有 a/b/c 3 个，但你可能只采样到动作 b，你可能只采样到动作 c，你没有采样到动作 a。但现在所有动作 的奖励都是正的，所以根据这个式子，它的每一项的概率都应该要上升。你会遇到的问题是，因为 a 没有被采样到，其它动作 的概率如果都要上升，a 的概率就下降。 所以 a 不一定是一个不好的动作， 它只是没被采样到。但只是因为它没被采样到， 它的概率就会下降，这个显然是有问题的，要怎么解决这个问题呢？你会希望你的奖励不要总是正的。 ![1.](img/4.14.png) -为了解决 reward 总是正的这个问题，你可以把 reward 减掉一项叫做 b，这项 b 叫做 baseline。你减掉这项 b 以后，就可以让 $R(\tau^n)-b$ 这一项， 有正有负。 所以如果得到的 total reward $R(\tau^n)$ 大于 b 的话，就让它的概率上升。如果这个 total reward 小于 b，就算它是正的，正的很小也是不好的，你就要让这一项的概率下降。 如果$R(\tau^n)