fix ch8

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-# Q-learning for Continuous Actions
+# 针对连续动作的 DQN
 
-## Solution 1 & Solution 2
+## 方案 1 & 方案 2
+跟基于策略梯度的方法比起来，DQN 是比较稳的。策略梯度是没有太多游戏是玩得起来的，策略梯度比较不稳，在没有 近端策略优化 之前，我们很难用策略梯度做什么事情。DQN 相对而言是比较稳的。最早 DeepMind 的论文拿深度强化学习来玩雅达利的游戏，用的就是 DQN。DQN 比较容易训练的一个理由是：在 DQN 里面，你只要能够估计出Q函数，就保证你一定可以找到一个比较好的策略。也就是你只要能够估计出Q函数，就保证你可以改进策略。而估计Q函数这件事情，是比较容易的，因为它就是一个回归问题。在回归问题里面， 你可以轻易地知道模型学习得是不是越来越好，只要看那个回归的损失有没有下降，你就知道说模型学习得好不好，所以估计Q函数相较于学习一个策略是比较容易的。你只要估计Q函数，就可以保证说现在一定会得到比较好的策略。所以一般而言 DQN 比较容易操作。
 
-![](img/8.1.png)
+DQN 其实存在一些问题，最大的问题是它不太容易处理连续动作。很多时候动作是连续的，比如我们玩雅达利的游戏，智能体只需要决定比如说上下左右，这种动作是离散的。那很多时候动作是连续的。举例来说假设智能体要做的事情是开自驾车，它要决定说它方向盘要左转几度， 右转几度，这是连续的。假设智能体是一个机器人，它身上有 50 个 关节，它的每一个动作就对应到它身上的这 50 个关节的角度。而那些角度也是连续的。所以很多时候动作并不是一个离散的东西，它是一个向量。在这个向量里面，它的每一个维度都有一个对应的值，都是实数，它是连续的。假设动作是连续的，做 DQN 就会有困难。因为在做 DQN 里面一个很重要的一步是你要能够解这个优化问题。估计出 Q函数$Q(s,a)$ 以后，必须要找到一个 $a$，它可以让 $Q(s,a)$ 最大，如下式所示。
 
-继续讲一下 Q-learning，其实跟 policy gradient based 方法比起来，Q-learning 是比较稳的。policy gradient 是没有太多游戏是玩得起来的，policy gradient 比较不稳，尤其在没有 PPO 之前，你很难用 policy gradient 做什么事情。Q-learning 相对而言是比较稳的。最早 DeepMind 的 paper 拿 deep reinforcement learning 来玩 Atari 的游戏，用的就是 Q-learning。Q-learning 比较容易 train 的一个理由是：在 Q-learning 里面，你只要能够 estimate 出 Q-function，就保证你一定可以找到一个比较好的 policy。也就是你只要能够 estimate 出 Q-function，就保证你可以 improve 你的 policy。而 estimate Q-function 这件事情，是比较容易的，因为它就是一个 regression problem。在这个 regression problem 里面， 你可以轻易地知道 model learn 得是不是越来越好，只要看那个 regression 的 loss 有没有下降，你就知道说你的 model learn 得好不好，所以 estimate Q-function 相较于 learn 一个 policy 是比较容易的。你只要 estimate Q-function，就可以保证说现在一定会得到比较好的 policy。所以一般而言 Q-learning 比较容易操作。
+$$
+  a=\arg \max _{a} Q(s, a)
+$$
 
-Q: Q-learning 有什么问题呢？
+假设$a$是离散的，即$a$的可能性都是有限的。举例来说，雅达利的小游戏里面，$a$ 就是上下左右跟开火，它是有限的，我们可以把每一个可能的动作都带到 Q 里面算它的 Q 值。但假如$a$是连续的，你无法穷举所有可能的连续动作，试试看哪一个连续动作可以让 Q 的值最大。
 
-A: **最大的问题是它不太容易处理 continuous action**。很多时候 action 是 continuous 的。什么时候你的 action 会是 continuous 的呢？我们玩 Atari 的游戏，你的 agent 只需要决定比如说上下左右，这种 action 是 discrete 的。那很多时候你的 action 是 continuous 的。举例来说假设你的 agent 要做的事情是开自驾车，它要决定说它方向盘要左转几度， 右转几度，这是 continuous 的。假设 agent 是一个机器人，它身上有 50 个 关节，它的每一个 action 就对应到它身上的这 50 个关节的角度。而那些角度也是 continuous 的。所以很多时候 action 并不是一个 discrete 的东西，它是一个 vector。在这个 vector 里面，它的每一个 dimension 都有一个对应的 value，都是 real number，它是 continuous 的。假设 action 是 continuous 的，做 Q-learning 就会有困难。因为在做 Q-learning 里面一个很重要的一步是你要能够解这个 optimization problem。你 estimate 出 Q-function $Q(s,a)$ 以后，必须要找到一个 a，它可以让 $Q(s,a)$ 最大。假设 a 是 discrete 的，那 a 的可能性都是有限的。举例来说，Atari 的小游戏里面，a 就是上下左右跟开火，它是有限的，你可以把每一个可能的 action 都带到 Q 里面算它的 Q value。但假如 a 是 continuous 的，你无法穷举所有可能的 continuous action，试试看哪一个 continuous action 可以让 Q 的 value 最大。
+怎么解这个问题呢？就有各种不同的方案。
 
-所以怎么办呢？在概念上，我们就是要能够解这个问题。怎么解这个问题呢？就有各种不同的 solution。
+第一个方案是假设你不知道怎么解这个问题，因为$a$是没有办法穷举的，怎么办？我们可以采样出 $N$ 个可能的 $a$：$\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}\right\}$ ，一个一个带到 Q函数里面，看谁最大。这个方法其实也不会太不高效， 因为你在运算的时候会使用 GPU，一次会把 $N$ 个连续动作都丢到 Q函数里面，一次得到 $N$ 个 Q 值，然后看谁最大。当然这不是一个非常精确的做法，因为你没有办法做太多的采样， 所以你估计出来的 Q 值，最后决定的动作可能不是非常的精确，这是第一个方案。
 
-**第一个 solution 是假设你不知道怎么解这个问题，因为 a 是没有办法穷举的。怎么办？用 sample 的。Sample 出 N 个 可能的 a，一个一个带到 Q-function 里面，看谁最快。**这个方法其实也不会太不 efficient， 因为你真的在运算的时候，你会用 GPU，一次会把 N 个 continuous action 都丢到 Q-function 里面，一次得到 N 个 Q value，然后看谁最大。当然这不是一个非常精确的做法，因为你没有办法做太多的 sample， 所以你 estimate 出来的 Q value，你最后决定的 action 可能不是非常的精确， 这是第一个 solution。
+第二个方案是什么呢？既然要解的是一个优化问题（optimization problem），其实是要最大化目标函数（objective function），要最大化一个东西， 就可以用梯度上升。我们就把$a$当作是参数，然后要找一组$a$去最大化Q函数，就用梯度上升去更新 $a$ 的值，最后看看能不能找到一个$a$去最大化Q函数，也就是目标函数。当然这样子你会遇到全局最大值（global maximum）的问题， 就不见得能够真的找到最优的结果，而且这个运算量显然很大， 因为你要迭代地更新 $a$。我们训练一个网络就很花时间了。如果你用梯度上升的方法来处理连续的问题， 等于是你每次要决定采取哪一个动作的时候，都还要做一次训练网络的过程，显然运算量是很大的。这是第二个方案。
 
-**第二个 solution 是什么呢？既然要解的是一个 optimization problem，其实是要 maximize objective function，要 maximize 一个东西， 就可以用 gradient ascent。**你就把 a 当作是 parameter，然后你要找一组 a 去 maximize 你的 Q-function，你就用 gradient ascent 去 update a 的 value，最后看看你能不能找到一个 a 去 maximize 你的 Q-function，也就是你的 objective function。当然这样子你会遇到 global maximum 的问题， 就不见得能够真的找到 optimal 的结果，而且这个运算量显然很大， 因为你要迭代地 update a。我们 train 一个 network 就很花时间了。如果你用 gradient ascent 的方法来处理 continuous 的 problem， 等于是你每次要决定 take 哪一个 action 的时候，你都还要做一次 train network 的 process，显然运算量是很大的。这是第二个 solution。
 
-## Solution 3: Design a network
+## 方案 3：设计网络
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+第三个方案是特别设计一个网络的架构，特别设计Q函数，使得解 arg max 的问题变得非常容易。也就是这边的Q函数不是一个一般的Q函数，特别设计一下它的样子，让你要找让这个Q函数最大的 $a$ 的时候非常容易。
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+下图是一个例子，这边有Q函数，这个Q函数的做法是这样。
+  通常输入状态 $s$ 就是一个图像，可以用一个向量或一个矩阵来表示。
+  输入 $s$，Q函数会输出 3 个东西。它会输出 $\mu(s)$，这是一个向量。它会输出 $\Sigma(s)$ ，这是一个矩阵。它会输出 $V(s)$，这是一个标量。
+  输出这 3 个东西以后，我们知道Q函数其实是吃一个$s$跟 $a$，然后决定一个值。Q函数意思是说在某一个状态，采取某一个动作的时候，你期望的奖励有多大。到目前为止这个Q函数只吃 $s$，它还没有吃$a$进来，$a$ 在哪里呢？当这个Q函数吐出 $\mu$、 $\Sigma$ 跟 $V$ 的时候，我们才把$a$引入，用$a$跟 $\mu(s)、\Sigma(s)、V$  互相作用一下，你才算出最终的 Q 值。
 
 ![](img/8.2.png)
 
-**第三个 solution 是特别 design 一个 network 的架构，特别 design 你的 Q-function，使得解 arg max 的 problem 变得非常容易**。也就是这边的 Q-function 不是一个 general 的 Q-function，特别设计一下它的样子，让你要找让这个 Q-function 最大的 a 的时候非常容易。
+ $a$怎么和这 3 个东西互相作用呢？实际上 $Q(s,a)$，Q函数的运作方式是先输入 $s$，让你得到 $\mu,\Sigma$ 跟 $V$。然后再输入 $a$，然后接下来把$a$跟 $\mu$ 相减。注意一下$a$现在是连续的动作，所以它也是一个向量。假设你现在是要操作机器人的话，这个向量的每一个维度，可能就对应到机器人的某一个关节，它的数值就是关节的角度，所以$a$是一个向量。把向量 $a$ 减掉向量 $\mu$，取转置，所以它是一个横的向量。$\Sigma$ 是一个矩阵。然后$a$减掉 $\mu(s)$ ，$a$ 和 $\mu(s)$ 都是向量，减掉以后还是一个竖的向量。所以 $-(a-\mu(s))^{T} \Sigma(s)(a-\mu(s))+V(s)$ 是一个标量，这个数值就是 Q 值 $Q(s,a)$。
 
-上图是一个例子，这边有我们的 Q-function，这个 Q-function 的做法是这样。
+  假设 $Q(s,a)$ 定义成这个样子，我们要怎么找到一个$a$去最大化这个 Q 值呢？这个方案非常简单。因为 $(a-\mu(s))^{T} \Sigma(s)(a-\mu(s))$ 一定是正的，它前面乘上一个负号，所以第一项就假设我们不看这个负号的话，第一项的值越小，最终的 Q 值就越大。因为我们是把 $V(s)$ 减掉第一项，所以第一项的值越小，最后的 Q 值就越大。怎么让第一项的值最小呢？你直接把$a$代入 $\mu$ 的值，让它变成 0，就会让第一项的值最小。
 
-* Input state s，通常它就是一个 image，可以用一个向量或一个 matrix 来表示。
+  $\Sigma$ 一定是正定的。因为这个东西就像是高斯分布（Gaussian distribution），所以 $\mu$ 就是高斯分布的均值，$\Sigma$ 就是高斯分布的方差。但方差是一个正定（positive definite）的矩阵，怎么样让这个 $\Sigma$ 一定是正定的矩阵呢？其实在 $Q^{\pi}$ 里面，它不是直接输出 $\Sigma$，如果直接输出 一个 $\Sigma$， 它不一定是正定的矩阵。它其实是输出 一个矩阵，然后再把那个矩阵跟另外一个矩阵做转置相乘， 然后可以确保 $\Sigma$ 是正定的。这边要强调的点就是说，实际上它不是直接输出一个矩阵。你再去那个论文里面查看一下它的技巧，它可以保证说 $\Sigma$ 是正定的。
-* Input 这个 s，Q-function 会 output 3 个东西。它会 output $\mu(s)$，这是一个 vector。它会 output $\Sigma(s)$ ，这是一个 matrix。它会 output $V(s)$，这是一个 scalar。
-* output 这 3 个东西以后，我们知道 Q-function 其实是吃一个 s 跟 a，然后决定一个 value。Q-function 意思是说在某一个 state，take 某一个 action 的时候，你 expected 的 reward 有多大。到目前为止这个 Q-function 只吃 s，它还没有吃 a 进来，a 在哪里呢？当这个 Q-function 吐出 $\mu$、 $\Sigma$ 跟 $V$ 的时候，我们才把 a 引入，用 a 跟 $\mu(s)、\Sigma(s)、V$  互相作用一下，你才算出最终的 Q value。
-* a 怎么和这 3 个东西互相作用呢？实际上 $Q(s,a)$，你的 Q-function 的运作方式是先 input s，让你得到 $\mu,\Sigma$ 跟 V。然后再 input a，然后接下来把 a 跟 $\mu$ 相减。注意一下 a 现在是 continuous 的 action，所以它也是一个 vector。假设你现在是要操作机器人的话，这个 vector 的每一个 dimension，可能就对应到机器人的某一个关节，它的数值就是关节的角度，所以 a 是一个 vector。把 a 的这个 vector 减掉 $\mu$ 的这个 vector，取 transpose，所以它是一个横的 vector。$\Sigma$ 是一个 matrix。然后 a 减掉 $\mu(s)$ ，a 和 $\mu(s)$ 都是 vector，减掉以后还是一个竖的 vector。所以 $-(a-\mu(s))^{T} \Sigma(s)(a-\mu(s))+V(s)$ 是一个 scalar，这个数值就是 Q value $Q(s,a)$，。
-* 假设 $Q(s,a)$ 定义成这个样子，我们要怎么找到一个 a 去 maximize 这个 Q value 呢？这个 solution 非常简单，什么样的 a， 可以让这一个 Q-function 最终的值最大呢？。因为 $(a-\mu(s))^{T} \Sigma(s)(a-\mu(s))$ 一定是正的，它前面乘上一个负号，所以第一项就假设我们不看这个负号的话，第一项的值越小，最终的 Q value 就越大。因为我们是把 V(s) 减掉第一项，所以第一项的值越小，最后的 Q value 就越大。怎么让第一项的值最小呢？你直接把 a 代入 $\mu$ 的值，让它变成 0，就会让第一项的值最小。
-* $\Sigma$ 一定是正定的。因为这个东西就像是 Gaussian distribution，所以 $\mu$ 就是 Gaussian 的 mean，$\Sigma$ 就是 Gaussian 的 variance。但 variance 是一个 positive definite 的 matrix，怎么样让这个 $\Sigma$ 一定是 positive definite 的 matrix 呢？其实在 $Q^{\pi}$ 里面，它不是直接 output $\Sigma$，如果直接 output 一个 $\Sigma$， 它不一定是 positive definite 的 matrix。它其实是 output 一个 matrix，然后再把那个 matrix 跟另外一个 matrix 做 transpose 相乘， 然后可以确保 $\Sigma $ 是 positive definite 的。这边要强调的点就是说，实际上它不是直接 output 一个 matrix。你再去那个 paper 里面 check 一下它的 trick，它可以保证说 $\Sigma$ 是 positive definite 的。
-* 你把 a 代入 $\mu(s)$ 以后，你可以让 Q 的值最大。所以假设要你 arg max 这个东西，虽然一般而言，若 Q 是一个 general function， 你很难算，但是我们这边 design 了 Q 这个 function，a 只要设 $\mu(s)$，我们就得到最大值。你在解这个 arg max 的 problem 的时候就变得非常容易。所以 Q-learning 也可以用在 continuous 的 case，只是有一些局限，就是 function 不能够随便乱设，它必须有一些限制。
 
-##  Solution 4: Don't use Q-learning
+  你把$a$代入 $\mu(s)$ 以后，你可以让 Q 的值最大。所以假设要你 arg max Q 函数，如下式所示。
+$$
+\mu(s)=\arg \max _{a} Q(s, a)
+$$
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+虽然一般而言，若 Q 是一个一般的函数， 你很难算，但是我们这边设计了 Q 这个函数，$a$ 只要设 $\mu(s)$，我们就得到最大值。你在解这个 arg max 的问题的时候就变得非常容易。所以 DQN 也可以用在连续的情况，只是有一些局限，就是函数不能够随便乱设，它必须有一些限制。
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+##  方案 4：不使用DQN
+第 4 招就是不要用 DQN。用 DQN 处理连续动作还是比较麻烦。
+基于策略的方法 PPO 和基于价值的方法 DQN，这两者其实是可以结合在一起的，如下图所示，也就是演员-评论员的方法。
 
 ![](img/8.3.png)
 
-**第 4 招就是不要用 Q-learning。**用 Q-learning 处理 continuous action 还是比较麻烦。
 
-我们讲了 policy-based 的方法 PPO 和 value-based 的方法 Q-learning，这两者其实是可以结合在一起的， 也就是 Actor-Critic 的方法。
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